已知函数f(x)=xln(1+x)-a(x+1),其中a为实常数.(1)当x∈[1,+∞)时,f′(x)>0恒成立,求a的取值范围;(2)求函数g(x)=f′(

已知函数f(x)=xln(1+x)-a(x+1),其中a为实常数.(1)当x∈[1,+∞)时,f′(x)>0恒成立,求a的取值范围;(2)求函数g(x)=f′(

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已知函数f(x)=xln(1+x)-a(x+1),其中a为实常数.
(1)当x∈[1,+∞)时,f′(x)>0恒成立,求a的取值范围;
(2)求函数g(x)=f′(x)-
ax
1+x
的单调区间.
答案
(1)由题意知:f′(x)=ln(1+x)+
x
1+x
-a>0

a<ln(1+x)+
x
1+x
,(2分)
h(x)=ln(1+x)+
x
1+x
,h′(x)=
1
1+x
+
1
(1+x)2

∵x∈[1,+∞),∴h"(x)>0
即h(x)在[1,+∞)上单调递增(4分)
a<h(1)=
1
2
+ln2

∴a的取值范围是(-∞,
1
2
+ln2)
.(6分)
(2)由(1)知g(x)=ln(1+x)+
(1-a)x
1+x
-a,x∈(-1,+∞)

g′(x)=
1
1+x
+
1-a
(1+x)2
=
x+2-a
(1+x)2
(7分)
①当a>1,x∈(-1,a-2)时,g"(x)<0,g(x)在(-1,a-2)上单调递减,
x∈(a-2,+∞)时,g"(x)>0,g(x)在(a-2,+∞)上单调递增(9分)
②当a≤1时,g"(x)>0,g(x)在(-1,+∞)上单调递增(11分)
综上所述,当a>1时,g(x)的增区间为(a-2,+∞),减区间为(-1,a-2)
当a≤1时,g(x)的增区间为(-1,+∞)(12分)
举一反三
已知函数f(x)=2


x
-lnx-2.
(I)求f(x)的单调区间;
(II)若不等式
x-m
lnx


x
恒成立,求实数m的取值组成的集合.
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已知函数f(x)=ax2+2ln(1-x)(a为常数).
(1)若f(x)在x=-1处有极值,求a的值;
(2)若f(x)在[-3,-2]上是增函数,求a的取值范围.
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设a>0,函数f(x)=
1
3
x3-ax在(1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是______.
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已知函数f(x)=x-
2
x
+1-alnx
,a>0,
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a=3,求f(x)在区间[1,e2]上值域.
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设函数f(x)=
1
2
x2ex
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若当x∈[-2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m的取值范围.
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