(Ⅰ)求导函数,可得f′(x)=-+=(m>0). …(1分) 因为函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,所以f"(x)≥0在[1+∞)上恒成立, 所以mx-1≥0在[1,+∞)上恒成立, 所以m≥在[1,+∞)上恒成立. 所以m的取值范围是[1,+∞). …(3分) (Ⅱ)令f′(x)=0,∴x=(m>0). …(4分) ①若<1,即m>1,则x∈[1,e]时,有f"(x)>0,所以f(x)在[1,e]上递增, 所以f(x)的最大值是f(e)=;f(x)的最小值是f(1)=0…(6分) ②若1≤<e,即<m≤1,则x∈(1,)时,f′(x)<0,所以f(x)在(1,)上递减;x∈(,e)时,f′(x)>0,所以f(x)在(,e)上递增. 所以f(x)的最小值是f()=-lnm. 又f(1)=0,f(e)=, 所以当1-e+me>0,即1-<m≤1时,有f(e)>f(1),所以f(x)的最大值是f(e)=; 当1-e+me≤0,即<m≤1-时,有f(e)≤f(1), 所以f(x)的最大值是f(1)=0. …(9分) ③若≥e,即0<m≤,则x∈[1,e]时,有f"(x)<0, 所以f(x)在[1,e]上递增, 所以f(x)的最大值是f(1)=0;f(x)的最小值是f(e)=.…(11分) 所以f(x)的最大值是,f(x)的最小值是…(12分) |