设函数f(x)=xsinx(x∈R).(1)证明:f(x+2kπ)-f(x)=2kπsinx,k∈Z;(2)设x0为f(x)的一个极值点,证明[f(x0)]2=
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设函数f(x)=xsinx(x∈R).(1)证明:f(x+2kπ)-f(x)=2kπsinx,k∈Z;(2)设x0为f(x)的一个极值点,证明[f(x0)]2=
题型:南昌模拟
难度:
来源:
设函数f(x)=xsinx(x∈R).
(1)证明:f(x+2kπ)-f(x)=2kπsinx,k∈Z;
(2)设x
0
为f(x)的一个极值点,证明
[f(
x
0
)
]
2
=
x
40
1+
x
20
.
答案
(1)f(x+2kπ)-f(x)
=(x+2kπ)Sin(x+2kπ)-xSinx
=(x+2kπ)Sinx-xSinx
=xSinx+2kπSinx-xSinx
=2kπSinx…(6分)
(2)由f"(x)=sinx+xcosx,
得:f"(x
0
)=sinx
0
+x
0
cosx
0
=0…(8分)
又sin
2
x
0
+cos
2
x
0
=1联立,
得:
Si
n
2
x
0
=
x
20
1+
x
20
…(12分)
∴[f(x
0
)]
2
=x
0
2
Sin
2
x
0
=
x
20
×
x
20
1+
x
20
=
x
40
1+
x
20
…(14分)
举一反三
已知:a>0,b>0,且a+b=1,求证:(1)
a
+
b
≤
2
;(2)
ab+
1
ab
≥
17
4
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=2x
3
-x
2
+ax+b.
(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线,求参数a的取值范围.
(2)若函数f(x)在x=1处取处极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<b
2
+b恒成立,求参数b 的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
1
3
a
x
3
-
1
2
a
2
x
2
+2x+1
,其中a∈R.
(1)若f(x)在x∈R时存在极值,求a的取值范围;
(2)若f(x)在
[-1,
1
2
]
上是增函数,求a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)
2
(x∈R)有极大值8.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求实数a的值.
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=e
x
(x
2
-2x)的单调递减区间为______.
题型:不详
难度:
|
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