已知函数f(x)=x3-12x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．（1）求b的值；（2）若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=x3-

1

2

x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
（1）求b的值；
（2）若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

答案

（1）由题意得f′（x）=3x²-x+b
∵f（x）在x=1处取得极值
∴f′（1）=3-1+b=0
∴b=-2
所以b的值是-2．
（2）由（1）得f′（x）=3x²-x-2
∵当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立
∴x3-

1

2

x2-2x+c＜c2在[-1，2]上恒成立，
即x3-

1

2

x2-2x＜c2-c在[-1，2]上恒成立．
设g（x）=x3-

1

2

x2-2x则g′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）
当x∈（-1，-

2

3

）时，g′（x）＞0
当x∈（-

2

3

，1）时，g′（x）＜0
当x∈（1，2）时，g′（x）＞0
所以，当x=-

2

3

时，g（x）取得极大值为g（-

2

3

）=

22

27

又因为g（2）=2
所以在[-1，2]上g（x）的最大值为g（2）=2
则有c²-c＞2，解得：c＞2或c＜-1
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．