已知f(x)=x3+bx+cx+d在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有三个根,它们分别为α,2,β.(1)求c的值;(2)求证
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已知f(x)=x3+bx+cx+d在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有三个根,它们分别为α,2,β. (1)求c的值; (2)求证f(1)≥2; (3)求|α-β|的取值范围. |
答案
(1)∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,在(0,2]上是减函数; ∴x=0是f"(x)=0的根,又∵f"(x)=3x2+2bx+c,∴f"(0)=0,∴c=0. (2)∵f(x)=0的根为α,2,β, ∴f(2)=0,∴8+4b+d=0,又∵f"(2)≤0, ∴12+4b≤0,∴b≤-3,又d=-8-4b ∴d≥4 f(1)=1+b+d,f(2)=0 ∴d=-8-4b且b≤-3, ∴f(1)=1+b-8-4b=-7-3b≥2 (3)∵f(x)=0有三根α,2,β; ∴f(x)=(x-α)(x-2)(x-β) =x3-(α+β+2)•x2-2αβ ∴; ∴|β-α|2=(α+β)2-4αβ =(b+2)2+2d =b2+4b+4-16-8b =b2-4b-12 =(b-2)2-16 又∵b≤-3,∴|β-α|≥3 |
举一反三
设函数f(x)=ex-ax-2 (Ⅰ)求f(x)的单调区间 (Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k) f´(x)+x+1>0,求k的最大值. |
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-时,都取得极值. (1)求a,b的值; (2)若f(-1)=,求f(x)的单调区间和极值; (3)若对x∈[-1,2]都有f(x)<恒成立,求c的取值范围. |
函数f(x)=(1-x)•ex的单调递增区间是______. |
设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),若g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数 (1)求b,c的值; (2)求g(x)的单调区间. |
已知函数f(x)=x2+2x+alnx. (1)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调函数,求实数a的取值范围; (2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围. |
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