已知函数f(x)=x2+2x+alnx.(1)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x2+2x+alnx. (1)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调函数,求实数a的取值范围; (2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围. |
答案
(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞) ∵f(x)=x2+2x+alnx ∴f′(x)=(x>0), 设g(x)=2x2+2x+a,则g(x)=(x+)2-+a, ∵函数f(x)在区间(0,1)上为单调增函数, ∴g(0)≥0,或g(1)≤0, ∴a≥0,或2+2+a≤0, ∴实数a的取值范围是{a|a≥0,或a≤-4}. (2)不等式f(2t-1)≥2f(t)-3可化为2t2-4t+2≥alnt2-aln(2t-1) ∴2t2-alnt2≥2(2t-1)-aln(2t-1) 令h(x)=2x-alnx(x≥1),则问题可化为h(t2)≥h(2t-1) ∵t≥1,∴t2≥2t-1 要使上式成立,只需要h(x)=2x-alnx(x≥1)是增函数即可 即g′(x)=2-≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤2x在[1,+∞)上恒成立,故a≤2 ∴实数a的取值范围是(-∞,2]. |
举一反三
已知函数f(x)=Inx-(a∈R,a≠0). (1)当a=-1时,讨论f(x)在定义域上的单调性; (2)若f(x)在区间[1,e]上的最小值是,求实数a的值. |
若函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上没有极值点,则实数m的取值范围是 ______. |
已知函数f(x)=x4-3x2+6. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设点P在曲线y=f(x)上,若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点,求l的方程. |
对于函数f(x)=|x|3-x2+(3-a)|x|+b. (1)若f(2)=7,则f(-2)=______. (2)若f(x)有六个不同的单调区间,则a的取值范围是______. |
已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是定义在R上的函数,其图象交x轴于A、B、C三点,若点B的坐标为(2,0),且f(x)在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性. (1)求实数C的值; (2)在函数f(x)的图象上是否存在点M(x0,y0),使f(x)在点M处的切线斜率为3b?若存在,求出点M的坐标;不存在说明理由. |
最新试题
热门考点