设函数f(x)=alnx+2a2 x(a≠0)．（1）已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2-3a，求实数a的值；（2）讨论函数f（x）的

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设函数f(x)=alnx+2a2 x(a≠0)．（1）已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2-3a，求实数a的值；（2）讨论函数f（x）的

题型：朝阳区二模难度：来源：
设函数f(x)=alnx+
2
a2 
x
(a≠0)．
（1）已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2-3a，求实数a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）在（1）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3-x．
答案
（1）∵f(x)=alnx+
2
a2 
x
(a≠0)，
∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，
f′(x)=
a
x
-
2a2
x2
，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2-3a，
∴f′（1）=a-2a2=2-3a，
解得a=1．
（2）f′(x)=
a
x
-
2a2
x2
=
a(x-2a)
x2
，
①当a＜0时，∵x＞0，∴x-2a＞0，a（x-2a）＜0，
∴f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，若0＜x＜2a，则a（x-2a）＜0，f′（x）＜0，
函数f（x）在（0，2a）上单调递减；
若x＞2a，则a（x-2a）＞0，f′（x）＞0，函数在（2a，+∞）上单调递增．
综上所述，当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，函数f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．
（3）由（1）知，f（x）=lnx+
2
x
，
设g（x）=f（x）-（3-x），则g（x）=lnx+
2
x
+x-3，
∴g′(x)=
1
x
-
2
x2
+1=
x2+x-2
x2
=
(x-1)(x+2)
x2
，x＞0
当x变化时，g′（x），g（x）的变化如下表：
举一反三
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 x （0，1） 1（1，+∞） 
 g′（x）- 0+
 g（x）↓ 极小值↑
已知函数f（x）=alnx+
2a2
x
+x（a≠0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-2y=0垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a∈（-∞，0）时，记函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤
1
2
e2．
若函数f（x）=x4-ax3+x2-2有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围______．
已知x=


2
是函数f（x）=





(x2-2ax)ex，x＞0
bx，x＜0
的极值点．
（Ⅰ）当b=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当b∈R时，函数y=f（x）-m有两个零点，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=ax2-lnx．（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）已知曲线y=f（x）与直线y=x相切，求a．
已知函数f（x）=x3-ax2+3x．
（Ⅰ）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．
（Ⅱ）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．