(1)∵f(x)=alnx+(a≠0), ∴f(x)的定义域为{x|x>0}, f′(x)=-, ∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l的斜率为2-3a, ∴f′(1)=a-2a2=2-3a, 解得a=1. (2)f′(x)=-=, ①当a<0时,∵x>0,∴x-2a>0,a(x-2a)<0, ∴f′(x)<0,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当a>0时,若0<x<2a,则a(x-2a)<0,f′(x)<0, 函数f(x)在(0,2a)上单调递减; 若x>2a,则a(x-2a)>0,f′(x)>0,函数在(2a,+∞)上单调递增. 综上所述,当a<0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当a>0时,函数f(x)在(0,2a)上单调递减,在(2a,+∞)上单调递增. (3)由(1)知,f(x)=lnx+, 设g(x)=f(x)-(3-x),则g(x)=lnx++x-3, ∴g′(x)=-+1==,x>0 当x变化时,g′(x),g(x)的变化如下表:
x | (0,1) | 1 | (1,+∞) | g′(x) | - | 0 | + | g(x) | ↓ | 极小值 | ↑ |
举一反三
已知函数f(x)=alnx++x(a≠0). (Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-2y=0垂直,求实数a的值; (Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅲ)当a∈(-∞,0)时,记函数f(x)的最小值为g(a),求证:g(a)≤e2. | 若函数f(x)=x4-ax3+x2-2有且仅有一个极值点,求实数a的取值范围______. | 已知x=是函数f(x)=的极值点. (Ⅰ)当b=1时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当b∈R时,函数y=f(x)-m有两个零点,求实数m的取值范围. | 已知函数f(x)=ax2-lnx.(a∈R). (1)求f(x)的单调区间; (2)已知曲线y=f(x)与直线y=x相切,求a. | 已知函数f(x)=x3-ax2+3x. (Ⅰ)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值. (Ⅱ)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围. |
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