已知函数f(x)=ax2-lnx.(a∈R).(1)求f(x)的单调区间;(2)已知曲线y=f(x)与直线y=x相切,求a.
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已知函数f(x)=ax2-lnx.(a∈R). (1)求f(x)的单调区间; (2)已知曲线y=f(x)与直线y=x相切,求a. |
答案
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f"(x)=2ax-=, 令g(x)=2ax2-1,x∈(0,+∞) (i)当a≤0时,g(x)<0,此时f"(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上为减函数; (ii)当a>0时,方程2ax2-1=0有两根x1=,x2=-, 且x1>0,x2<0,此时当x∈(0, )时,f"(x)<0, 当x∈( ,+∞)时,f"(x)>0, 故f(x)在(0, )为减函数,在(,+∞)为增函数; 所以当a≤0时,函数f(x)的递减区间为(0,+∞), 当a>0时,函数f(x)的递增区间为(,+∞),递减区间为(0, ). (2)设切点为M(t,t),t>0. 则f"(t)=1,且at2-lnt=t,∴t-1+2lnt=0,(*) 由于1-1+2ln1=0,∴方程(*)有解t=1, 令g(t)=t-1+2lnt, ∵g"(t)=1+>0,g(t)在(0,+∞)上是增函数, ∴方程(*)有唯一解t=1, ∴a×12=1+ln1, ∴a=1. |
举一反三
已知函数f(x)=x3-ax2+3x. (Ⅰ)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值. (Ⅱ)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=ax2+x-xlnx(a>0). (Ⅰ)若函数满足f(1)=2,且在定义域内f(x)≥bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围; (Ⅱ)当<x<y<1时,试比较与的大小; (Ⅲ)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=x3-3ax, (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a=1时,求证:直线4x+y+m=0不可能是函数f(x)图象的切线. |
(文)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数). (1)求实数b的值; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)当a=1时,求函数y=f(x)(x∈[,e])的值域. |
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