已知函数f(x)=ex-kx(x∈R)(1)若k=e,试确定函数f(x)的单调区间;(2)若k>0且对任意x∈R,f(|x|)>0恒成立,试确定实数k的取值范围
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已知函数f(x)=ex-kx(x∈R) (1)若k=e,试确定函数f(x)的单调区间; (2)若k>0且对任意x∈R,f(|x|)>0恒成立,试确定实数k的取值范围. |
答案
(1)f"(x)=ex-e,令f"(x)=0,解得x=1 当x∈(1,+∞)时,f"(x)>0,∴f(x)在(1,+∞)单调递增; 当x∈(-∞,1)时,f"(x)<0,∴f(x)在(1,+∞)单调递减.(6分) (2)∵f(|x|)为偶函数,∴f(|x|)>0恒成立等价于f(x)>0对x≥0恒成立 当x≥0时,f"(x)=ex-k,令f"(x)=0,解得x=lnk (1)当lnk>0,即k>1时,f(x)在(0,lnk)减,在(lnk,+∞)增, ∴f(x)min=f(lnk)=k-kllnk>0,解得1<k<e,∴1<k<e (2)当lnk≤0,即0<k≤1时,f"(x)=ex-k≥0,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴f(x)min=f(0)=1>0,符合,∴0<k≤1 综上,0<k<e.(12分). |
举一反三
已知函数f(x)=(x+1)lnx. (1)求f(x)在x=1处的切线方程; (2)设g(x)=f(x),对任意x∈(0,1),g(x)<-2,求实数a的取值范围. |
设函数f(x)=x(ex-1)-ax2 (Ⅰ)若a=,求f(x)的单调区间; (Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=lnx,g(x)=ex. ( I)若函数φ(x)=f(x)-,求函数φ(x)的单调区间; (Ⅱ)设直线l为函数的图象上一点A(x0,f (x0))处的切线.证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的x0,使得直线l与曲线y=g(x)相切. |
设函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R. (1)若x=1时,函数f(x)取得极值,求函数f(x)的图象在x=-1处的切线方程; (2)若函数f(x)在区间(,1)内不单调,求实数a的取值范围. |
已知 f(x)=(e是自然对数的底数), (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)若f(x)-k只有一个零点,求实数k的取值范围; (Ⅲ)求证≤. |
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