已知函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然数的底数,a∈R.(1)当a<0时,解不等式f(x)>0;(2)当a=0时,求正整数k的值,使方程f(x)=x
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已知函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然数的底数,a∈R. (1)当a<0时,解不等式f(x)>0; (2)当a=0时,求正整数k的值,使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解; (3)若f(x)在[-1,1]上是单调增函数,求a的取值范围. |
答案
(1)因为ex>0,所以不等式f(x)>0即为ax2+x>0, 又因为a<0,所以不等式可化为x(x+)<0, 所以不等式f(x)>0的解集为(0,-). (2)当a=0时,方程即为xex=x+2,由于ex>0,所以x=0不是方程的解 所以原方程等价于ex--1=0,令h(x)=ex--1, 因为h′(x)=ex+>0对于x∈(0,+∞)恒成立, 所以h(x)在(0,+∞)内是单调增函数, 又h(1)=e-3,h(2)=e2-2>0, 所以方程f(x)=x+2有且只有1个实数根,在区间[1,2], 所以正整数k的值为 1. (3)f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=[ax2+(2a+1)x+1]ex, ①当a=0时,f′(x)=(x+1)ex,f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立,当且仅当x=-1时取等号,故a=0符合要求; ②当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,因为△=(2a+1)2-4a=4a2+1>0, 所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨设x1>x2, 因此f(x)有极大值又有极小值. 若a>0,因为g(-1)•g(0)=-a<0,所以f(x)在(-1,1)内有极值点, 故f(x)在[-1,1]上不单调. 若a<0,可知x1>0>x2, 因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[-1,1]上单调,因为g(0)=1>0, 必须满足即,所以-≤a<0. 综上可知,a的取值范围是[-,0]. |
举一反三
已知函数f(x)=lnx+ax-a2x2(a≥0). (1)若x=1是函数y=f(x)的极值点,求a的值; (2)求函数y=f(x)的单调区间. |
已知函数f(x)=x+x3,x∈R. (1)判断函数f(x)的单调性,并证明你的结论; (2)若a,b∈R,且a+b>0,试比较f(a)+f(b)与0的大小. |
已知函数,f(x)=,g(x)=clnx+b,且x=是函数y=f(x)的极值点. (1)若方程f(x)-m=0有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围; (2)若直线L是函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线,且直线L与函数Y=G(X)的图象相切于点P(x0,y0),x0∈[e-1,e],求实数b的取值范围. |
设函数y=f(x)(x∈R)是可导的函数,若满足(x-2)f′(x)≥0,则必有( )A.f(1)+f(3)≥2f(2) | B.f(1)+f(3)≤2f(2) | C.f(1)+f(3)<2f(2) | D.f(1)+f(3)>2f(2) |
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