设函数f(x)=px-qx-2lnx,且f(e)=pe-qe-2,(其中e=2.1828…是自然对数的底数).(1)求p与q的关系;(2)若f(x)在其定义域内
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设函数f(x)=px-qx-2lnx,且f(e)=pe-qe-2,(其中e=2.1828…是自然对数的底数).(1)求p与q的关系;(2)若f(x)在其定义域内
题型:中山市模拟
难度:
来源:
设函数f(x)=px-
q
x
-2lnx,且f(e)=pe-
q
e
-2,(其中e=2.1828…是自然对数的底数).
(1)求p与q的关系;
(2)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;
(3)设
g(x)=
2e
x
,若在[1,e]上存在实数x
0
,使得f(x
0
)>g(x
0
)成立,求实数p的取值范围.
答案
(1)∵f(e)=pe-
q
e
-2,
∴(p-q)e=
q-p
e
,∴p-q=0,
∴p=q;
(2)f′(x)=p+
p
x
2
-
2
x
≥0,或f′(x)≤0在(0,+∞)恒成立,
⇒p≥
2
x
•
x
2
x
2
+1
=
2x
x
2
+1
=
2
x+
1
x
或p≤
2
x+
1
x
⇒p≥1或p≤0
;
(3)∵
g(x)=
2e
x
在[1,e]上是减函数
∴x=e时,g(x)
min
=2;
x=1时,g(x)
max
=2e,
即g(x)∈[2,2e]
①p≤0时,由(2)知f(x)在[1,e]递减⇒f
max
(x)=f(1)=0<2,不合题意
②0<p<1时,由x∈[1,e]⇒x-
1
x
∈[0,e-
1
e
]
∴
f(x)=p(x-
1
x
)-2lnx<x-
1
x
-2lnx<e-
1
e
-2lne=e-
1
e
-2<2,不合题意
③p≥1时,由(2)知f(x)在[1,e]上是增函数,故只需f(x)
max
>g(x)
min
=2,
x∈[1,e]而f(x
)
max
=f(e)=p(e-
1
e
)-2lne,g(x
)
min
=2
由
p(e-
1
e
)-2lne>2
p≥1
,解得p>
4e
e
2
-1
,故p的取值范围是(
4e
e
2
-1
,+∞)
.
举一反三
已知函数f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1(a∈R),当a≤
1
2
时,讨论f(x)的单调性.
题型:不详
难度:
|
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求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=
x
2
+sinx;
(2)f(x)=
2x-b
(x-1
)
2
.
题型:不详
难度:
|
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设函数f(x)=-
1
3
ax
3
+x
2
+1(a≤0),求f(x)的单调区间.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=mx
3
+nx
2
的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线3x+y=0平行,若f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数t的取值范围是______.
题型:江苏模拟
难度:
|
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已知函数
f(x)=-
1
3
x
3
+
x
2
+3x+a
.
(1)求f(x)的单调减区间;
(2)若f(x)在区间[-3,4]上的最小值为
7
3
,求a的值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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