已知函数f(x)=m3x3-12x2+n(m≠0).(I)若f(x)在x=1处取得极小值0,求实数m,n的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.
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已知函数f(x)=m3x3-12x2+n(m≠0).(I)若f(x)在x=1处取得极小值0,求实数m,n的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=
m
3
x
3
-
1
2
x
2
+n(m≠0).
(I)若f(x)在x=1处取得极小值0,求实数m,n的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.
答案
(I)函数的导数为f"(x)=mx
2
-x,若f(x)在x=1处取得极小值0,则f"(1)=m-1=0,解得m=1,
且f(1)=0.所以
f(x)=
1
3
x
3
-
1
2
x
2
+n
,所以由f(1)=0,解得n=
1
6
.
(Ⅱ)因为函数的导数为f"(x)=mx
2
-x=x(mx-1)=
mx(x-
1
m
)
,对应方程的两个根为0,
1
m
.
若m>0,则由f"(x)>0,解得x
>
1
m
或x<0,此时函数单调递增.由f"(x)<0,解得0<x<
1
m
,此时函数单调递减.
若m<0,则由f"(x)>0,解得
1
m
<x<0,此时函数单调递增.x<0,由f"(x)<0,解得x>0或x<
1
m
,此时函数单调递减.
综上若m>0,函数的增区间为(-∞,0)和(
1
m
,+∞
),单调减区间为(0,
1
m
).
若m<0,函数的增区间为(
1
m
,0).单调减区间为(-∞,
1
m
)和(0,+∞).
举一反三
已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)
(1)求f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=x
2
-2x+2,若对任意x
1
∈(0,+∞),均存在x
2
∈[0,1],使得f(x
1
)<g(x
2
),求实数a的取值范围.
题型:鹰潭模拟
难度:
|
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若函数f(x)=x
3
-12x在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是( )
A.-3<k<-1或1<k<3
B.k≤-3或-1≤k≤1或k≥3
C.-2<k<2
D.不存在这样的实数k
题型:不详
难度:
|
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设
f(x)=-
1
3
x
3
+
1
2
x
2
+2ax
(1)若f(x)在
(
2
3
,+∞)
上存在单调递增区间,求a的取值范围.
(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]的最小值为
-
16
3
,求f(x)在该区间上的最大值.
题型:江西
难度:
|
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设函数f(x)=e
x
,其中e为自然对数的底数.
(Ⅰ)求函数g(x)=f(x)-ex的单调区间;
(Ⅱ)记曲线y=f(x)在点P(x
0
,f(x
0
))(其中x
0
<0)处的切线为l,l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S,求S的最大值.
题型:西城区二模
难度:
|
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已知函数f(x)=kx-
k
x
-2lnx,其中k∈R;
(1)若函数f(x)在其定义域内为单调递增函数,求实数k的取值范围.
(2)若函数g(x)=
2e
x
,且k>0,若在[1,e]上至少存在一个x的值使f(x)>g(x)成立,求实数k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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