(I)当x<0时,f(x)=(x+1)2+a, ∴f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增; 当x>0时,f(x)=lnx,在(0,+∞)单调递增. (II)∵x1<x2<0,∴f(x)=x2+2x+a,∴f′(x)=2x+2, ∴函数f(x)在点A,B处的切线的斜率分别为f′(x1),f′(x2), ∵函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直, ∴f′(x1)•f′(x2)=-1, ∴(2x1+2)(2x2+2)=-1. ∴2x1+2<0,2x2+2>0, ∴x2-x1=[-(2x1+2)+(2x2+2)]≥=1,当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=-,x2=-时等号成立. ∴函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2-x1的最小值为1. (III)当x1<x2<0或0<x1<x2时,∵f′(x1)≠f′(x2),故不成立,∴x1<0<x2. 当x1<0时,函数f(x)在点A(x1,f(x1)),处的切线方程为 y-(+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-+a. 当x2>0时,函数f(x)在点B(x2,f(x2))处的切线方程为y-lnx2=(x-x2),即y=x+lnx2-1. 函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合的充要条件是, 由①及x1<0<x2可得-1<x1<0, 由①②得a=+ln-1=-ln(2x1+2)-1. ∵函数y=-1,y=-ln(2x1+2)在区间(-1,0)上单调递减, ∴a(x1)=-ln(2x1+2)-1在(-1,0)上单调递减,且x1→-1时,ln(2x1+2)→-∞,即-ln(2x1+2)→+∞,也即a(x1)→+∞. x1→0,a(x1)→-1-ln2. ∴a的取值范围是(-1-ln2,+∞). |