设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)讨论f(x)的极值.
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设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1. (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)讨论f(x)的极值. |
答案
由已知得f′(x)=6x[x-(a-1)], 令f′(x)=0,解得x1=0,x2=a-1. (Ⅰ)当a=1时,f′(x)=6x2,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增 当a>1时,f′(x)=6x[x-(a-1)],f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
从上表可知,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增;在(0,a-1)上单调递减;在(a-1,+∞)上单调递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 当a=1时,函数f(x)没有极值. 当a>1时,函数f(x)在x=0处取得极大值,在450处取得极小值1-(a-1)3. |
举一反三
给出下列四个命题: ①已知a=sinxdx,点(,a)到直线x-y+1=0的距离为1; ②若f"(x0)=0,则函数y=f(x)在x=x0取得极值; ③m≥-1,则函数y=log(x2-2x-m)的值域为R; ④在极坐标系中,点P(2,)到直线ρsin(θ-)=3的距离是2. 其中真命题是______(把你认为正确的命题序号都填在横线上) |
给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f′(x))′,若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,)上不是凸函数的是( )A.f(x)=sinx+cosx | B.f(x)=lnx-2x | C.f(x)=-x3+2x-1 | D.f(x)=-xe-x |
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若函数f(x)=ex-ax在区间(1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为______. |
定义在R上的可导函数f(x),已知y=ef"(x)的图象如图所示,则y=f(x)的增区间是( )A.(-∞,1) | B.(-∞,2) | C.(0,1) | D.(1,2) |
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定义在R上的奇函数f(x)=x3+bx2+cx+d,在x=±1处取得极值 (1)求函数f(x)的解析式; (2)求y=f(x)在[-1,m](m>-1)上的最大、最小值. |
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