已知函数f(x)=ax2+2ln(x+1),其中a为实数.(1)若f(x)在x=1处有极值,求a的值;(2)若f(x)在[2,3]上是增函数,求a的取值范围.
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=ax2+2ln(x+1),其中a为实数. (1)若f(x)在x=1处有极值,求a的值; (2)若f(x)在[2,3]上是增函数,求a的取值范围. |
答案
(1)由已知得f(x)的定义域为(-1,+∞) 又f^(x)=2ax+ ∴由题意得f′(1)=2a+1=0 ∴a=- (2)解法一:依题意得f′(x)>0对x∈[2,3]恒成立,∴2ax+>0 ∴2ax>-,a>= ∵x∈[2,3],∴-(x+)2+的最小值为-(3+)2+=-12 ∴的最大值为- 又因a=-时符合题意∴a≥-为所求 解法二:依题意得fn(x)>0对x∈[2,3]恒成立,∴2ax+>0即>0 ∵1+x>0, ∴ax2+ax+1>0对x∈[2,3]恒成立 令g(x)=ax2+ax+1 (1)当a=0时,1>0恒成立 (2)当a<0时,抛物线g(x)开口向下,可得g(x)min=g(3)>0 即9a+3a+1≥0,∴0>a>-( (3)当a>0时,抛物线g(x)开口向上,可得g(x)min=g(2)>0 即4a+2a+1>0, ∴a>-,即a>0 又因a=-时符合题意 综上可得a≥-为所求 |
举一反三
设a>0,函数f(x)=的导函数为f"(x). (Ⅰ)求f"(0),f"(1)的值,并比较它们的大小; (Ⅱ)求函数f(x)的极值. |
设函数f(x)=x2-aln(x+1),其中a∈R. (Ⅰ)若f"(1)=0,求a的值; (Ⅱ)当a<0时,讨论函数f(x)在其定义域上的单调性; (Ⅲ)证明:对任意的正整数n,不等式ln(n+1)>n |
| k=1 | (-)都成立. |
设f(x),g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数,且f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则当a<x<b时,下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)>f(b)g(b) | B.f(x)g(a)>f(a)g(x) | C.f(x)g(b)>f(b)g(x) | D.f(x)g(x)>f(a)g(a) |
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已知y=x3+2x2+a2x+5是单调函数,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1]∪[1,+∞) | B.(-∞,-2]∪[2,+∞) | C.(-∞,-3]∪[3,+∞) | D.(-∞,-4]∪[4,+∞) |
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已知函数f(x)=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围为( ) |
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