已知函数(I)当a=1时,求函数f(x)的图象在点A(0,f(0))处的切线方程;(II)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅲ)是否存在实数a∈(1,2),使当x∈(

已知函数(I)当a=1时,求函数f(x)的图象在点A(0,f(0))处的切线方程;(II)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅲ)是否存在实数a∈(1,2),使当x∈(

题型:河北省模拟题难度:来源:
已知函数
(I)当a=1时,求函数f(x)的图象在点A(0,f(0))处的切线方程;
(II)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)是否存在实数a∈(1,2),使当x∈(0,1)时恒成立?若存在,求出实数a;若不存在,请说明理由.
答案

解:(I)a=1时,,        
于是f(0)=1,f′(0)=1,
所以函数f(x)的图象在点处的切线方程为y-1=-(x-0)
即x+y-1=0. 
(II)=
,∴ 只需讨论的符号. 
i)当a>2时,>0,这时f′(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.
ii)当a= 2时,≥0,函数f(x)在(-∞,+∞)上为增函数
iii)当0<a<2时,令f′(x)= 0,解得.当x变化时,f′(x)和f(x)的变化情况如下表:

∴f(x)在为增函数,f(x)在为减函数
(Ⅲ)当∈(1,2)时,∈(0,1).
由(2)知上是减函数,在上是增函数,
故当x∈(0,1)时,,所以
当x∈(0,1)时恒成立,等价于恒成立
当a∈(1,2)时,
设g(t)=(1-t)et,t∈(0,1),则
表明g(t) 在(0,1)上单调递减,
于是可得g(t)∈(0,1),即a∈(1,2)时恒成立,
因此,符合条件的实数a不存在. 


举一反三
函数y=xlnx在(0,5)上是(  )
A.单调增函数
B.在(0,
1
e
)上单调递增,在(
1
e
,5)上单调递减
C.单调减函数
D.在(0,
1
e
)上单调递减,在(
1
e
,5)上单调递增.
题型:不详难度:| 查看答案
若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是(  )
A.
魔方格
B.
魔方格
C.
魔方格
D.
魔方格
题型:湖南难度:| 查看答案
函数f(x)=xlnx的单调递增区间是______.
题型:不详难度:| 查看答案
如果函数y=f(x)的图象如图,那么导函数y=f′(x)的图象可能是(  )
A.
魔方格
B.
魔方格
C.
魔方格
D.
魔方格
魔方格
题型:福建难度:| 查看答案
函数y=xlnx的单调减区间为 ______.
题型:不详难度:| 查看答案
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