已知函数f(x)的图像在[a,b]上连续不断,定义:   ,,其中min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数f

已知函数f(x)的图像在[a,b]上连续不断,定义:   ,,其中min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数f

题型:江苏省模拟题难度:来源:
已知函数f(x)的图像在[a,b]上连续不断,定义:   ,其中min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值,若存在最小正整数k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a),对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”.
(1)若f(x)=cosx,x∈[0,π],试写出f1(x),f2(x)的表达式;
(2)已知函数f(x)=x2,x∈[-1,4],试判断f(x)是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”,如果是,求出对应的k,如果不是,请说明理由;
(3)已知,函数f(x)=-x3+3x2是[0,b]上的2阶收缩函数,求b的取值范围
答案

解:(1 )由题意可得:。    
(2)   
 当时,∴ k≥1-x,k≥2
时,1≤k(x+1),∴k≥,∴k≥1  
 当时,x2≤k(x+1)∴k≥
即存在,使得是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。
(3),令
的变化情况如下:

令f(x)=0得x=0或x=3。
(i)当b≤2时,f(x)=在[0,b]上单调递增,
因此,
因为是[0,b]上的”,
所以,①对x∈[0,b]恒成立;
②存在x∈[0,b],使得成立。
①即:对x∈[0,b]恒成立,
解得0≤x≤1或x≥2。
要使对x∈[0,b]恒成立,需且只需
②即:存在x∈[0,b],使得成立。
解得
所以,只需
综合①②可得
(i i )当时,f(x)在[0,2]上单调递增,在[2,b]上单调递减,
因此,
显然当x=0时,不成立。
(i i i)当时,f(x)在[0,2]上单调递增,在[2,b]上单调递减,
因此,
显然当x=0时,不成立。
综合(i)(i i)(i i i)可得:


举一反三
我们常用以下方法求形如y=f(x)g(x)的函数的导数:先两边同取自然对数得:lny=g(x)lnf(x), 再两边同时求导得到:于是得到:
y ′= f(x)g(x)运用此方法求得函数的一个单调递增区间是[     ]
A.(e,4)      
B.(3,6)      
C.(0,e)      
D.(2,3)
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已知函数f(x)=x3-2x2+bx+a,g(x)=ln(1+2x)+x
(1)求f(x) 的单调区间
(2)若f(x) 与g(x) 有交点,且在交点处的切线均为直线y=3x ,求a,b 的值并证明:在公共定义域内恒有f(x) ≥g(x)
(3)设A(x1,g(x1)),B(x2,g(x2)) ,C (t,g(t)) 是y=g(x) 图象上任意三点,且<x1<t<x2, 求证:割线AC 的斜率大于割线BC 的斜率;
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已知y=f(x)是函数的反函数,
(Ⅰ)解关于x的不等式:
(Ⅱ)当a=1时,过点(-1,1)是否存在函数y=f(x)图象的切线?若存在,有多少条?若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若a是使f(x)≥g(x)(x≥1)恒成立的最小值,试比较的大小(0<λ<1,n∈N*)


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设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当0<a<2时,求函数g(x)=f(x)-x2-ax-1在区间[0,3]上的最小值.
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已知a>0,函数
(Ⅰ)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;
(Ⅱ)若恒成立,求实数a的取值范围.
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