已知函数，且．（e是自然对数的底数）（1）求a与b的关系式；（2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．

题型：江西省月考题难度：来源：

已知函数，且．（e是自然对数的底数）
（1）求a与b的关系式；
（2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．

答案

解：（1）由题意知，f（e）=ae﹣﹣2=be﹣﹣2，
∴（a﹣b）（e+）=0，∴a=b，
（2）由（1）知  f（x）=ax﹣﹣2lnx，
f"（x）=a+﹣=，
令 h（x）=ax²﹣2x+a，因为f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调函数，
∴在其定义域（0，+∞）内，h（x）≥0或h（x）≤0恒成立．
①当a=0时，h（x）=﹣2x，
∵x＞0，∴h（x）＜0，f"（x）＜0，f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调函数，
故a=0满足条件．
②当a＞0时，h（x）图象是开口向上的抛物线，对称轴是x=，
h（x）的最小值是a﹣，只需 a﹣≥0，
∴a≥1，即a≥1时，f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调函数，
故a≥1满足条件．
③当a＜0时，h（x）图象是开口向下的抛物线，对称轴是x=∈（0，+∞），
∴在（0，+∞）内，h（x）≤0成立，
∴f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调减函数，
∴当a＜0时，满足条件．
综上可得，a的取值范围是a≥1或a≤0．