已知f(x)=ex﹣ax﹣1.(1)求f(x)的单调增区间;(2)求证:ex>x+1(x≠0).
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已知f(x)=ex﹣ax﹣1. (1)求f(x)的单调增区间; (2)求证:ex>x+1(x≠0). |
答案
(1)解:∵f(x)=ex﹣ax﹣1, ∴f"(x)=ex﹣a 令f"(x)≥0得ex≥a, 当a≤0时,f"(x)>0在R上恒成立, 当a>0时,得x≥lna, 综上所述:当a≤0时f(x)的单调增区间是(﹣∞,+∞); 当a>0时f(x)的单调增区间是(lna,+∞) (2)证明:设g(x)=ex﹣x﹣1,则 由g"(x)=ex﹣1>0解得x>0, ∴g(x)在(0,+∞)上递增,在(﹣∞,0)上递减; ∴总有g(x)>g(0)=0 即ex﹣x﹣1>0, ∴ex>x+1(x≠0) |
举一反三
已知a是实数,函数f(x)=x2(x﹣a). (1)若f"(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值. |
已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数,则的解集为 |
[ ] |
A.{x|﹣1<x<1} B.{x|x<﹣1} C.{x|x<﹣1或x>1} D.{x|x>1} |
已知三次函数f(x)的最高次项系数为a,三个零点分别为﹣1,0,3. (1)若方程有两个相等的实根,求a的值; (2)若函数λ(x)=f(x)+2在区间内单调递减,求a的取值范围. |
在直角坐标系中,设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1,t)、Q(1﹣2t,2+t)、R(﹣2t,2),其中t∈(0,+∞). (1)求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t); (2)确定函数S(t)的单调区间,并加以证明. |
已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x﹣1)+g(1﹣x)=x2﹣2x﹣1,且g(1)=﹣1.令. (1)求g(x)的表达式; (2)若x>0使f(x)≤0成立,求实数m的取值范围; (3)设1<m≤e,H(x)=f(x)﹣(m+1)x,证明:对x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)﹣H(x2)|<1. |
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