已知函数f(x)=ax3+bx2﹣3x(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若对于区间[﹣2,2]上任

已知函数f(x)=ax3+bx2﹣3x(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若对于区间[﹣2,2]上任

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已知函数f(x)=ax3+bx2﹣3x(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若对于区间[﹣2,2]上任意两个自变量的值x1,x2都有|f(x1)﹣f(x2)|≤c,求实数c的最小值;
(3)若过点M(2,m)(m≠2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
答案
解:(1)f"(x)=3ax2+2bx﹣3.
根据题意,得 
 
解得 
所以f(x)=x3﹣3x.
(2)令f"(x)=0,即3x2﹣3=0.得x=±1.
当x∈(﹣∞,﹣1)时,f′(x)>0,函数f(x)在此区间单调递增;
当x∈(﹣1,1)时,f′(x)<0,函数f(x)在此区间单调递减;
因为f(﹣1)=2,f(1)=﹣2,
所以当x∈[﹣2,2]时,f(x)max=2,f(x)min=﹣2.
则对于区间[﹣2,2]上任意两个自变量的值x1,x2,都有
|f(x1)﹣f(x2)|≤|f(x)max﹣f(x)min|=4,
所以c≥4.
所以c的最小值为4.
(3)因为点M(2,m)(m≠2)不在曲线y=f(x)上,
所以可设切点为(x0,y0).则
y0=x03﹣3x0
因为f"(x0)=3x02﹣3,所以切线的斜率为3x02﹣3.
则3x02﹣3= ,
即2x03﹣6x02+6+m=0.
因为过点M(2,m)(m≠2)可作曲线y=f(x)的三条切线,
所以方程2x03﹣6x02+6+m=0有三个不同的实数解.
所以函数g(x)=2x3﹣6x2+6+m有三个不同的零点.
则g"(x)=6x2﹣12x.
令g"(x)=0,则x=0或x=2.
当x∈(﹣∞,0)时,g′(x)>0,函数g(x)在此区间单调递增;
当x∈(0,2)时,g′(x)<0,函数g(x)在此区间单调递增;
所以,函数g(x)在x=0处取极大值,在x=2处取极小值,
有方程与函数的关系知要满足题意必须满足:  ,
即 
解得﹣6<m<2.
举一反三
已知函数f(x)=x+
(1)若a=4,证明f(x)在(0,2)上是单调减函数;
(2)若f(x)在区间(0,+∞)是增函数,求实数a的取值范围.
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函数f(x)=xlnx的单调递增区间是(    ).
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已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f"(x),满足f"(x)<f(x)且y=f(x+1)为偶函数,f(2)=1,则不等式f(x)<ex的解集为(    ).
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已知函数f(x)=asinx﹣x+b(a,b均为正常数).
(1)若a=2,求函数f(x)在区间[0,π]上的单调减区间;
(2)设函数在处有极值.
①对于一切,不等式恒成立,求b的取值范围;
②若函数f(x)在区间上是单调增函数,求实数m的取值范围.
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函数f(x)=x3﹣3x2+1的单调减区间为(    ).
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