已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（l，e）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）若f（x）有极值，求实数a的取值范围和

题型：福建省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（l，e）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为1，求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）有极值，求实数a的取值范围和函数f（x）的值域；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数g（x）=x³﹣x﹣2，证明：x₁∈（1，e），x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．

答案

解：（Ⅰ）
∵函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为1，
∴
∴
（Ⅱ）由，可得
∵x∈（1，e）∴∴
经检验时，f（x）有极值．
∴实数a的取值范围为．
列表

f（x）的极大值为
又∵f（1）=a，f（e）=ae+1
由a≥ae+1，解得
又∵
∴当时，函数f（x）的值域为
当时，函数f（x）的值域为．
（Ⅲ）证明：∵当x∈（1，e）时，g"（x）=3x²﹣1＞0，
∴g（x）在（1，e）上为单调递增函数
∵g（1）=﹣2，g（e）=e³﹣e﹣2
∴g（x）在（1，e）的值域为（﹣2，e³﹣e﹣2）
∵e³﹣e﹣2＞，﹣2＜ae+1，﹣2＜a
∴（﹣2，e³﹣e﹣2），（﹣2，e³﹣e﹣2）
∴x₁∈（1，e），x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．