已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数),(1)若a=﹣2,求函数f(x)的单调递增区间;(2)当a<﹣2时,求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的
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已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数),(1)若a=﹣2,求函数f(x)的单调递增区间;(2)当a<﹣2时,求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的
题型:江苏月考题
难度:
来源:
已知函数f(x)=alnx+x
2
(a为实常数),
(1)若a=﹣2,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当a<﹣2时,求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值;
(3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求a的取值范围.
答案
解:(1)a=﹣2,f(x)=﹣2lnx+x
2
,
∴
,
令f"(x)>0,由x>0得x>1,
∴f(x)的单调递增区间是(1,+∞).
(2)
,
令f"(x)=0,由a<﹣2,x>0得
①当
,即﹣2e
2
<a<﹣2时,f(x)在
递减,在
递增,
∴当
时,
.
②当
,即a≤﹣2e
2
时,f(x)在[1,e]递减,
∴当x=e时,f(x)
min
=a+e2.
(3)f(x)≤(a+2)x化为:alnx+x
2
﹣(a+2)x≤0,
设g(x)=alnx+x
2
﹣(a+2)x,据题意,
当x∈[1,e]时,g(x)
min
≤0,
,
(i)当
即a≤2时,当x∈[1,e]时,g"(x)≥0,∴g(x)递增,
∴g(x)
min
=g(1)=﹣1﹣a≤0,∴a≥﹣1,
∴﹣1≤a≤2;
(ii)当
即2<a<2e时,g(x)在
递减,
递增,
∴
,
∵
,∴g(x)min<0,
∴2<a<2e符合题意;
(iii)当
即a≥2e时,g(x)在[1,e]递减,
∴g(x)
min
=g(e)=a+e
2
﹣(a+2)e=(1﹣e)a+e
2
﹣2e≤2e(1﹣e)+e
2
﹣2e=﹣e2<0,符合题意,
综上可得,a的取值范围是[﹣1,+∞).
举一反三
的单调递减区间为( )
题型:江西省月考题
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已知函数
(Ⅰ)求f(x)的单调区间以及极值;
(Ⅱ)函数y=f(x)的图象是否为中心对称图形?如果是,请给出严格证明;如果不是,请说明理由.
题型:江西省月考题
难度:
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已知函数f(x)是在(0,+∞)上每一点处均可导的函数,若xf "(x)>f(x)在
(0,+∞)上恒成立.
(Ⅰ)①求证:函数
在(0,+∞)上是增函数;②当x
1
>0,x
2
>0时,证明:f(x
1
)+f(x
2
)<f(x
1
+x
2
);
(Ⅱ)已知不等式ln(x+1)<x在x>﹣1且x≠0时恒成立,求证:
…
.
题型:江西省月考题
难度:
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函数f(x)=(x﹣3)e
x
的单调递增区间是
[ ]
A.(﹣∞,2)
B.(0,3)
C.(1,4)
D.(2,+∞)
题型:辽宁省月考题
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设函数f(x)=x
3
﹣3ax+b(a≠0),已知曲线y=f(x)在点(2,f(x))处在直线y=8相切. (Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点.
题型:辽宁省月考题
难度:
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