设函数f(x)=a2lnx-x2+ax,a≠0。(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若f(1)≥e-1,求使f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立的实数a的值。
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设函数f(x)=a2lnx-x2+ax,a≠0。 (Ⅰ)求f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若f(1)≥e-1,求使f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立的实数a的值。(注:e为自然对数的底数) |
答案
解:(Ⅰ)因为f(x)=a2lnx-x2+ax,其中x>0, 所以f′(x)=-2x+a= 当a>0时,由f(x)>0,得0<x<a, ∴f(x)的增区间为(0,a); 当a<0时,由f(x)>0,得, ∴f(x)的增区间为(0,); (Ⅱ)由 f(1)=a-1≥e-1,即a≥e, 由(Ⅰ)知f(x)在[1,e]内单调递增, 要使f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立, 只要,则, ∴, ∴, ∴a≤e,得a=e。 |
举一反三
已知函数f(x)=lnx++x(a∈R)。 (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若以函数y=f(x)-x(0<x≤3)图像上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率恒成立,求实数a的最小值。 |
求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x4-2x2+3; (2)f(x)=2x-lnx。 |
已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求a的取值范围。 |
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