已知函数f（x）=（x3+3x2+ax+b）e-x，（Ⅰ）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在（-∞，α），（2，β）单调增加，在（α，2）

题型：海南省高考真题难度：来源：

已知函数f（x）=（x³+3x²+ax+b）e^-x，
（Ⅰ）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，α），（2，β）单调增加，在（α，2），（β，+∞）单调减少，证明β-α＜6。

答案

解：（Ⅰ）当a=b=-3时，
，
故
，
当x＜-3或0＜x＜3时，f′（x）＞0；当-3＜x＜0或x＞3时，f′（x）＜0；
从而f（x）在（-∞，-3），（0，3）单调增加，在（-3，0），（3，+∞）单调减少；
（Ⅱ），
由条件得：，
从而，
因为，
所以
，
将右边展开，与左边比较系数得，，
故，
又，
由此可得a＜-6，
于是β-α＜6。