已知函数f(x)=ax4lnx+bx4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数。(1)试确定a,b的值;(2)讨论函数f(x)的单调区间;
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已知函数f(x)=ax4lnx+bx4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数。 (1)试确定a,b的值; (2)讨论函数f(x)的单调区间; (3)若对任意x>0,不等式f(x)≥-2c2恒成立,求c的取值范围。 |
答案
解:(Ⅰ)由题意知f(1)=-3-c,因此b-c=-3-c,从而b=-3, 又对f(x)求导得, 由题意f′(1)=0, 因此a+4b=0,解得a=12。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知(x>0), 令f′(x)=0,解得x=1, 当0<x<1时,f′(x)<0,此时f(x)为减函数; 当x>1时,f′(x)>0,此时f(x)为增函数; 因此f(x)的单调递减区间为(0,1),而f(x)的单调递增区间为(1,+∞)。 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-3-c,此极小值也是最小值, 要使(x>0)恒成立,只需, 即或c≤-1, 所以c的取值范围为。 |
举一反三
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