已知函数f(x)=lnx-ax2-bx，(1)若a=-1，函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；(2)当a=1，b=-1时，证明函数f(x)只有一个

题型：山东省模拟题难度：来源：

已知函数f(x)=lnx-ax²-bx，
(1)若a=-1，函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
(2)当a=1，b=-1时，证明函数f(x)只有一个零点；
(3)若f(x)的图象与x轴交于A(x₁，0)，B(x₂，0)(x₁＜x₂)两点，AB的中点为C(x₀，0)，求证：f′(x₀)＜0。

答案

解：(1)依题意f(x)=lnx+x²-bx，x＞0，
因为f(x)在(0，+∞)上递增，
所以对x∈(0，+∞)恒成立，
即对x∈(0，+∞)恒成立，
所以只需，
因为x＞0，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以b的取值范围为。
(2)当a=1，b=-1时，f(x)=lnx-x²+x，其定义域是(0，+∞)，
所以，
因为x＞0，所以0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0，
所以函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减，
所以当x=1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1)=ln1-1²+1=0；
当x≠1时，f(x)＜f(1)，即f(x)＜0；
所以函数f(x)只有一个零点．
(3)由已知得，即，
两式相减，得，
即，
由及2x₀=x₁+x₂，得




，
令，且，
因为，
所以ψ(t)在(0，1)上递减，所以ψ(t)＞ψ(1)=0，
因为x₁＜x₂，
所以f′(x₀)＜0。