已知函数f(x)=lnx-ax2-bx,(1)若a=-1,函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;(2)当a=1,b=-1时,证明函数f(x)只有一个
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已知函数f(x)=lnx-ax2-bx,(1)若a=-1,函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;(2)当a=1,b=-1时,证明函数f(x)只有一个
题型:山东省模拟题
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来源:
已知函数f(x)=lnx-ax
2
-bx,
(1)若a=-1,函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;
(2)当a=1,b=-1时,证明函数f(x)只有一个零点;
(3)若f(x)的图象与x轴交于A(x
1
,0),B(x
2
,0)(x
1
<x
2
)两点,AB的中点为C(x
0
,0),求证:f′(x
0
)<0。
答案
解:(1)依题意f(x)=lnx+x
2
-bx,x>0,
因为f(x)在(0,+∞)上递增,
所以
对x∈(0,+∞)恒成立,
即
对x∈(0,+∞)恒成立,
所以只需
,
因为x>0,所以
,当且仅当
时取等号,
所以
,
所以b的取值范围为
。
(2)当a=1,b=-1时,f(x)=lnx-x
2
+x,其定义域是(0,+∞),
所以
,
因为x>0,所以0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0,
所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,
所以当x=1时,函数f(x)取得最大值,其值为f(1)=ln1-1
2
+1=0;
当x≠1时,f(x)<f(1),即f(x)<0;
所以函数f(x)只有一个零点.
(3)由已知得
,即
,
两式相减,得
,
即
,
由
及2x
0
=x
1
+x
2
,得
,
令
,且
,
因为
,
所以ψ(t)在(0,1)上递减,所以ψ(t)>ψ(1)=0,
因为x
1
<x
2
,
所以f′(x
0
)<0。
举一反三
已知函数
,g(x)=x
2
-2mx+4。
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若对任意x
1
∈(0,2),总存在x
2
∈[1,2]使f(x
1
)≥ g(x
2
),求实数m的取值范围。
题型:湖北省模拟题
难度:
|
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函数f(x)=ln(x+1)-mx在区间(0,1)上恒为增函数,则实数m的取值范围是( )。
题型:江苏同步题
难度:
|
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已知R上的连续函数g(x)满足:①当x>0时,g′(x)>0恒成立(g′(x)为函数g(x)的导函数);②对任意的x∈R都有g(x)=g(-x).又函数f(x)满足:对任意的x∈R都有f(
+x)=-f(x)成立,当x∈
时,f(x)=x
3
-3x。若关于x的不等式g[f(x)]≤g(a
2
-a+2)对x∈
恒成立,则a的取值范围是
[ ]
A.a≥1或a≤0
B.0≤a≤1
C.
D.a∈R
题型:四川省模拟题
难度:
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已知函数f(x)=
-ax(a为常数,a>0)。
(1)若
是函数f(x)的一个极值点,求a的值;
(2)求证:当0<a≤2时,f(x)在
上是增函数;
(3)若对任意的a∈(1,2),总存在
,使不等式f(x
0
)>m(1-a
2
)成立,求实数m的取值范围。
题型:湖北省模拟题
难度:
|
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设函数f(x)=(1+x)
2
-ln(1+x)
2
。
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当
时,不等式f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若关于x的方程x
2
+x+a=f(x)在[0,2]上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围。
题型:湖北省模拟题
难度:
|
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