解:(1)f"(x)= 当a≤0时f"(x)>0,f(x)在R上是增函数; 当a>0时,令f"(x) =0,得x=1-lna 若x<1-lna,则f"(x)>0,从而f(x)在区间(-∞,1-lna)上是增函数; 若x>1-lna,则f"(x)<0,从而f(x)在区间(1-lna,+∞)上是减函数 综上可知:当a≤0时,f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数; 当a>0时,f(x)在区间(-∞,1-lna)上是增函数,f(x)在区间(1-lna,+∞)上是减函数。 (2)由(1)可知:当a≤0时,f(x)≤0不恒成立, 又当a>0时,f(x)在x=1-lna处取最大值, 且f(1-lna)=1-lna-ae-lna=-lna 令-lna≤0,得a≥1, 故若f(x)≤0对x∈R恒成立,则a的取值范围是[1,+∞)。 (3)①由(2)知:当a=1时,恒有成立, 即 ∴。 ②由①知: 把以上n个式子相乘得 ∴ 故。 |