已知函数f(x)=x2+ax-lnx，a∈R，(1)若函数f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；(2)令g(x)=f(x)-x2，是否存在实数a，

题型：河北省期末题难度：来源：

已知函数f(x)=x²+ax-lnx，a∈R，
(1)若函数f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
(2)令g(x)=f(x)-x²，是否存在实数a，当x∈(0，e](e是自然常数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
(3)当x∈(0，e]时，证明：e²x²-x＞(x+1)lnx。

答案

解：(1)由题知在[1，2]上恒成立，
令h(x)=2x²+ax-1，
由得，得；
(2)假设存在实数a，使g(x)=ax-lnx(x∈(0，e])有最小值3，
，
①当a≤0时，g(x)在(0，e]上单调递减，g(x)_min=g(e)=ae-1=3，解得(舍去)；
②当时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴，解得a=e²，满足条件；
③当时，g(x)在(0，e]上单调递减，g(x)_min=g(e)=ae-1=3，解得(舍去)；
综上，存在实数a=e²，使得当x∈(0，e]时，g(x)有最小值3．
(3)令F(x)=e²x-lnx，由(2)知，F(x)_min=3，
令，
当0＜x≤e时，ψ′(x)≥0，ψ(x)在(0，e]上单调递增，
∴，
∴，即。