已知函数f(x)=。(1)确定y=f(x)在(0,+∞)上的单调性;(2)设h(x)=x·f(x)-x-ax3在(0,2)上有极值,求a的取值范围。

已知函数f(x)=。(1)确定y=f(x)在(0,+∞)上的单调性;(2)设h(x)=x·f(x)-x-ax3在(0,2)上有极值,求a的取值范围。

题型:同步题难度:来源:
已知函数f(x)=
(1)确定y=f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)设h(x)=x·f(x)-x-ax3在(0,2)上有极值,求a的取值范围。
答案
解:(1)由题知f′(x)=
设g(x)=-ln(1+x)(x>0),
则g′(x)=在(0,+∞)上恒成立,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴g(x)<g(0)=0,
∴f′(x)<0
因此f(x)在(0,+∞)上单调递减。
(2)由h(x)=x·f(x)-x-ax3可得,
h′(x)=-1-3ax2=
若a≥0,对任意x∈(0,2),h′(x)<0,
∴h(x)在(0,2)上单调递减,则f(x)在(0,2)上无极值
若a<0,h(x)=x·f(x)-x-ax3在(0,2)上有极值的充要条件是φ(x)=3ax2+3ax+1在(0,2)上有零点,
又φ(x)在(-,+∞)上单调,
∴φ(0)·φ(2)<0,
解得a<-
综上,a的取值范围是(-∞,-)。
举一反三
函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上是[     ]
A.增函数
B.减函数
C.在(0,π)上增,在(π,2π)上减
D.在(0,π)上减,在(π,2π)上增
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已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1。
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)设a<-1,如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围。
题型:同步题难度:| 查看答案
已知函数
(1)确定y=f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)若h(x)=x·f(x)-x-ax3在(0,2)上有极值,求实数a 的取值范围。
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若函数f(x)=3ax-2a+1在区间[-1,1]上没有零点,则函数g(x)=(a+1)·(x3-3x+4) 的递减区间是(    )。
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对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f"(x)≥0,则必有[     ]
A.f(0)+f(2)<2f(1)
B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)≥2 f(1)
D.f(0)+f(2)>2f(1)
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