解:(1)由已知函数求导得
设 则 在(0,+∞)上恒成立, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)<g(0)=0,所以f"(x)<0, 因此f(x)在(0,+∞)上单调递减。 (2)由h(x)=ln(1+x)-x-ax3可得
若a≥0,对任意的x∈(0,+∞),, 所以h"(x)<0, 所以h(x)在(0,2)上单调递减, 则f(x)在(0,2)上无极值; 若a<0,h(x)=x·f(x)-x-ax3在(0,2)上有极值的充要条件是 φ(x)=3ax2+3ax+1在(0,2)上有零点, 所以φ(0)·φ(2)<0,解得 综上,a的取值范围是。 |