已知a,b是实数,函数f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数,若f′(x)·g′(x)≥0在区间I上
题型:江苏高考真题难度:来源:
已知a,b是实数,函数f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数,若f′(x)·g′(x)≥0在区间I上恒成立,则称f(x)和g(x)在区间上单调性一致, (1)设a>0,若f(x)和g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一致,求b的取值范围; (2)设a<0且b≠0,若f(x)和g(x)在以a,b为端点的区间上单调性一致,求|a-b|的最大值. |
答案
解:f′(x)=3x2+a,g′(x)=2x+b, (1)由题意知f′(x)g′(x)≥0在[-1,+∞)上恒成立. 因为a>0,故3x2+a>0,进而2x+b≥0,即b≥-2x在区间[-1,+∞)上恒成立, 所以b≥2,因此b的取值范围是[2,+∞)。 (2)令f′(x)=0,解得, 若b>0,由a<0得0∈(a,b), 又因为f′(0)g′(0)=ab<0, 所以函数f(x)和g(x)在(a,b)上不是单调性一致的,因此b≤0. 现设b≤0,当x∈(-∞,0)时,g′(x)<0; 当x∈(-∞,)时,f′(x)>0. 因此,当时,f′(x)g′(x)<0. 故由题设得a≥ 且,从而, 于是, 因此,且当a=,b=0时等号成立. 又当,b=0时,f′(x)g′(x)=6x(x2-), 从而当x∈时,f′(x)g′(x)>0, 故函数f(x)和g(x)在上单调性一致,因此|a-b|的最大值为。 |
举一反三
函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为 |
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A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) |
已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数)。 (1)求实数b的值; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m<M),使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[ ,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数m和最大的实数M;若不存在,说明理由。 |
已知函数f(x)=ex+x,对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断: ①△ABC一定是钝角三角形;②△ABC可能是直角三角形;③△ABC可能是等腰三角形;④△ABC不可能是等腰三角形; 其中,正确的判断是 |
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A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ |
已知R上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x- 3)f"(x)>0的解集为 |
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[ ] |
A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,2) C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞) |
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