已知函数f(x)=x2-8lnx,g(x)=-x2+14x。(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a,a+
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已知函数f(x)=x2-8lnx,g(x)=-x2+14x。(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a,a+
题型:0108 模拟题
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来源:
已知函数f(x)=x
2
-8lnx,g(x)=-x
2
+14x。
(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,求a的取值范围。
(3)若方程f(x)=g(x)+m有唯一解,试求实数m的值。
答案
解:(1)因为
所以切线的斜率
又
故所求切线方程为
即
。
(2)因为
又x>0,所以当x>2时,
;
当0<x<2时,
即
在
上递增
在(0,2)上递减
又
所以
在
上递增
在
上递减
欲f(x)与
在区间
上均为增函数
则
解得
。
(3)原方程等价于
令
则原方程即为
因为当
时原方程有唯一解
所以函数
与
的图象在y轴右侧有唯一的交点
且x>0
所以当x>4时,
当0<x<4时,
即
在
上递增
在(0,4)上递减
故h(x)在x=4处取得最小值
从而当时原方程有唯一解的充要条件是
。
举一反三
已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)<
,则f(x)<
的解集为
[ ]
A.{x|x<-1}
B.{x|x>1}
C.{x|x<-1或x>1}
D.{x|-1<x<1}
题型:0107 模拟题
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
-3ax(a>0),
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)求函数y=f(x)在x∈[0,1]上的最小值。
题型:陕西省模拟题
难度:
|
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已知f(x)=
ax
3
-a
2
x,函数g(x)=
,x∈[0,2],
(1)设a≠0,求f(x)的单调区间;
(2)求g(x)的值域;
(3)设a>0,若对任意x
1
∈[0,2],总存在x
0
∈[0,2],使g(x
1
)-f(x
0
)=0,求实数a的取值范围。
题型:湖南省模拟题
难度:
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函数f(x)=
+lnx(a≠0),
(1)求函数y=f(x)的递增区间;
(2)当a=1时,求函数y=f(x)在[
,4]上的最大值和最小值;
(3)求证:
。
题型:陕西省模拟题
难度:
|
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已知f(x)=
x
3
-2x
2
+cx+4,g(x)=e
x
-e
2-x
+f(x),
(1)若f(x)在x=1+
处取得极值,试求c的值和f(x)的单调增区间;
(2)如图所示:若函数y=f(x)的图象在[a,b]连续光滑,试猜想拉格朗日中值定理:即一定存在c∈(a,b)使得f′(c)=
,利用这条性质证明:函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4。
题型:0108 模拟题
难度:
|
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