(1)解:, ①若a<0,f′(x)>0对一切x>0恒成立,∴f(x)的增区间为(0,+∞); ②若a>0,则当时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 当时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增; 故当a<0时,f(x)的增区间为(0,+∞),当a>0时,f(x)的增区间为; (2)解:当a=1时,, 当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表:
, , ∴。 (3)证明:当a=1时,由(2)知f(x)≥f(1)=0, ∴,即(当且仅当x=1时取等号), ①令,则有(此时等号不成立), 即有, ∴当k=n+1时,, 当k=n+2时,, …… 当k=3n时,, 累加可得:。 ②同理令,则有(此时等号不成立), 即有, ∴当k=n时,, 当k=n+1时,, 当k=3n-1时,, 累加可得:, 即:, 故:。 |