已知函数f(x)=，g(x)=2alnx(e为自然对数的底数)，(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间，若F(x)有最值，请求出最值；(2)是否存在正常

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已知函数f(x)=，g(x)=2alnx(e为自然对数的底数)，
(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间，若F(x)有最值，请求出最值；
(2)是否存在正常数a，使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由．

答案

解：(1)，
①当a≤0时，F′(x)＞0恒成立，F(x)在(0，+∞)上是增函数，F(x)只有一个单调递增区间(0，+∞)，没有最值；
②当a＞0时，，
若0＜x＜，则F′(x)＜0，F(x)在上单调递减；
若x＞，则F′(x)＞0，F(x)在上单调递增，
∴当x=时，F(x)有极小值，也是最小值，
即，
所以当a＞0时，F(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为-alna，无最大值；
(2)若f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，则方程f(x)-g(x)=0有且只有一解，
所以函数F(x)有且只有一个零点，
由(1)的结论可知F(x)_min=-alna=0得a=1，
此时，F(x)=，
∴，
∴f(x)与g(x)的图象的唯一公共点坐标为，
又，
∴f(x)与g(x)的图象在点处有共同的切线，其方程为，
即；
综上所述，存在a=1，使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，
且在该点处的公切线方程为。