解:(1)当a=1时,, 恒成立, ∴y=g(x)在(0,+∞)上是增函数,g(x)>g(0)=0, 即函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)由,得h(x)=f′(x)=ax-sinx, 若y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,则f′(x)=ax-sinx≥0恒成立, 当a≥1,恒有ax≥x≥sinx,此时f′(x)=ax-sinx≥0, ∴y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数; 当0<a<1时,h′(x)=a-cosx=0,得cosx=a,在上存在x0,使得cosx0=a; 当x∈(0,x0)时,h′(x)=a-cosx<0,h(x)在(0,x0)上是减函数, h(x)=f′(x)<f′(0)=0, 这与,f′(x)=ax-sinx≥0恒成立矛盾, ∴a≥1; (3)由(1)当0<x<1,0=f(0)<f(x)<f(1)=, 当0<a1<1,a=f(a1)∈(0,1), 假设0<ak<1, 则ak+1=, 又, ∵, ∴,即, ∴。 |