已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称。(1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调
题型:福建省高考真题难度:来源:
已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称。(1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间; (2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值。 |
答案
解:(1)由函数f(x)图象过点(-1,-6),得m-n=-3,① 由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n, 则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n; 而g(x)图象关于y轴对称,所以-=0 所以m=-3 代入①得n=0 于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2) 由f′(x)>0得x>2或x<0, 故f(x)的单调递增区间是(-∞,0),(2,+∞); 由f′(x)<0得0<x<2, 故f(x)的单调递减区间是(0,2)。 (2)由(1)得f′(x)=3x(x-2), 令f′(x)=0得x=0或x=2 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
由此可得: 当0<a<1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无极小值; 当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值; 当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值 综上得:当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值, 当1<a<3时,f(x)有极小值-6,无极大值; 当a=1或a≥3时,f(x)无极值。 |
举一反三
设函数, (Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若对一切x∈R,-3≤af(x)+b≤3,求a-b的最大值。 |
已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R), (Ⅰ)若a=2,求证:f(x)在(1,+∞)上是增函数; (Ⅱ)求f(x)在[1,e]上的最小值. |
已知函数f(x)=(x2-a)ex, (Ⅰ)若a=3,求f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知x1,x2是f(x)的两个不同的极值点,且|x1+x2|≥|x1x2|,若3f(a)<a3+a2-3a+b恒成立,求实数b的取值范围。 |
已知函数f(x)=+lnx, (Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,求正实数a的取值范围; (Ⅱ)若a=1,k∈R且k<,设F(x)=f(x)+(k-1)lnx,求函数F(x)在[,e]上的最大值和最小值。 |
已知函数f(x)=(x2-a)ex(e为自然对数的底数),g(x)= f(x)-b,其中曲线f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为-3。 (1)求函数f(x)的单调区间; (2)设方程g(x)=0有且仅有一个实根,求实数b的取值范围。 |
最新试题
热门考点