(Ⅰ)解:由题设知,函数f(x)的定义域是x>-1, , 且f′(x)=0有两个不同的根x1、x2, 故2x2+2x+a=0的判别式△=4-8a>0,即 , 且 , 又x1>-1,故a>0, 因此a的取值范围是 , 当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019012047-60655.gif) 因此f(x)在区间(-1,x1)和(x2,+∞)内是增函数,在区间(x1,x2)是减函数。 (Ⅱ)证明:由题设和(Ⅰ)知 , 于是 , 设函数g(t)=t2-2t(1+t)ln(1+t), 则g′(t)=-2(1+2t)ln(1+t), 当 时,g′(t)=0;当 时,g′(t)>0; 故g(t)在区间 内是增函数, 于是,当 时, , 因此 。 |