设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0。(1)当时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;(2)求函数f(x)的极值点;(3)证明:对任意的正整数n,

设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0。(1)当时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;(2)求函数f(x)的极值点;(3)证明:对任意的正整数n,

题型:山东省高考真题难度:来源:
设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0。
(1)当时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;
(2)求函数f(x)的极值点;
(3)证明:对任意的正整数n,不等式ln(+1)>都成立。
答案
解:(1)由题意知,f(x)的定义域为(-1,+∞)

设g(x)=2x2+2x+b,其图象的对称轴为


即g(x)=2x2+2x+b>0在(-1,+∞)上恒成立
∴当x∈(-1,+∞)时,f"(x)>0
∴当时,函数f(x)在定义域(-1,+∞)上单调递增。
(2)①由(1)得:当时,函数f(x)无极值点
时,有两个相同的解



时,函数f(x)在(-1,+∞)上无极值点
③当时,f"(x)=0有两个不同解


即x1?(-1,+∞),x2∈(-1,+∞)
∴b<0时,f"(x)、f(x)随x的变化情况如下表:

由此表可知b<0时,f(x)有唯一极小值点
时,
∴x1、x2∈(-1,+∞)
此时,f"(x)、f(x)随x的变化情况如下表:

由此表可知:时,f(x)有一个极大值点x1=
和-个极小值点
综上所述,b<0时,f(x)有唯一极小值点
时,f(x)有一个极大值点和一个极小值点
时,f(x)无极值点。
(3)当b=-1时,函数
令函数

∴当x∈[0,+∞)时,h"(x)>0,所以函数h(x)在[0,+∞)上单调递增,
又h(0)=0,
∴x∈(0,+∞)时,恒有h(x)>h(0)=0,即x3>x2-ln(x+1)恒成立,
故当x∈(0,+∞)时,有ln(x+1)>x2-x3
对任意正整数n,取
则有
所以结论成立。
举一反三
已知函数f(x)=
(1)设a>0,讨论y=f(x)的单调性;
(2)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1,求a的取值范围。
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设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2
(Ⅰ)求a的取值范围,并讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)证明:
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如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,给出下列命题:
①-3是函数y=f(x)的极值点;
②-1是函数y=f(x)的最小值点;
③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;
④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增。
则正确命题的序号是(    )。
题型:0103 模拟题难度:| 查看答案
如图,已知曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2:y=-2x3+3x(x≥0)交于点O、A,直线x=t(0<t<1)与曲线C1、C2分别相交于点B、D,
(Ⅰ)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t);
(Ⅱ)讨论f(t)的单调性,并求f(t)的最大值。
题型:0103 模拟题难度:| 查看答案
设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a。
(1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数m,使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由。
题型:山西省模拟题难度:| 查看答案
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