已知函数f(x)=。(1)设a>0,讨论y=f(x)的单调性;(2)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1,求a的取值范围。
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已知函数f(x)=。(1)设a>0,讨论y=f(x)的单调性;(2)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1,求a的取值范围。
题型:高考真题
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来源:
已知函数f(x)=
。
(1)设a>0,讨论y=f(x)的单调性;
(2)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1,求a的取值范围。
答案
解:(1)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)
对f(x)求导数得
(i)当a=2时
f"(x)在(-∞,0),(0,1)和(1,+∞)上均大于0,
所以f(x)在(-∞,1),(1,+∞)上为增函数;
(ii)当0<a<2时,f"(x)>0,f(x)在(-∞,1),(1,+∞)上为增函数;
(iii)当a>2时,
令f"(x)=0,解得
当x变化时,f"(x)和f(x)的变化情况如下表:
f(x)在
内为增函数
f(x)在
内为减函数。
(2)(i)当0<a≤2时,由(1)知:对任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1
(ii)当a>2时,取
,则由(1)知f(x
0
)<f(0)=1
(iii)当a≤0时,对任意x∈(0,1),恒有
且e
-ax
≥1
得
综上当且仅当a∈(-∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。
举一反三
设函数f(x)=x
2
+aln(1+x)有两个极值点x
1
,x
2
,且x
1
<x
2
,
(Ⅰ)求a的取值范围,并讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)证明:
。
题型:高考真题
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|
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如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,给出下列命题:
①-3是函数y=f(x)的极值点;
②-1是函数y=f(x)的最小值点;
③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;
④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增。
则正确命题的序号是( )。
题型:0103 模拟题
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如图,已知曲线C
1
:y=x
3
(x≥0)与曲线C
2
:y=-2x
3
+3x(x≥0)交于点O、A,直线x=t(0<t<1)与曲线C
1
、C
2
分别相交于点B、D,
(Ⅰ)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t);
(Ⅱ)讨论f(t)的单调性,并求f(t)的最大值。
题型:0103 模拟题
难度:
|
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设函数f(x)=x
2
-mlnx,h(x)=x
2
-x+a。
(1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数m,使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由。
题型:山西省模拟题
难度:
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f(x)=ax
3
+
bx
2
(a≠0,a,b∈R)的图象在点(2,f(2))处的切线与x轴平行。
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若已知a>b,求函数f(x)在[b,a]上的最大值。
题型:模拟题
难度:
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