设函数f(x)=x2-1+cosx(a>0)。 (1)当a=1时,证明; 函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若y=f(x)在(0,+∞)上是单调
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设函数f(x)=x2-1+cosx(a>0)。 (1)当a=1时,证明; 函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若y=f(x)在(0,+∞)上是单调
题型:山东省模拟题
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设函数f(x)=
x
2
-1+cosx(a>0)。
(1)当a=1时,证明; 函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求正数a的范围;
(3)在(1)的条件下,设数列{a
n
}满足:0<a
n
<1,且a
n+1
=f(a
n
),求证:0<a
n+1
<a
n
<1。
答案
解:(1)当a=1时,
,
恒成立,
所以,y=g(x)在(0,+∞)上是增函数,所以
,
∴函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数。
(2)若y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,则
恒成立,
当
时,
,恒有
,此时
,
所以,y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数;
当
时,
,得
,在
上存在x
0
,使得
;
当
时,
,
,
这与
,
恒成立矛盾,所以,
。
(3)由(1)当
时,
;
当
假设
,则
,
所以,
,
又
,
因为
,
,
所以,
,即
,
所以,
。
举一反三
已知函数f(x)=ax
3
+bx
2
-3x在x=±1处取得极值。
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x
1
,x
2
,都有|f(x
1
)-f(x
2
)|≤4;
(3)若过点A(1,m)(m ≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的范围。
题型:0112 模拟题
难度:
|
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已知函数f(x)=
x
3
-x
2
+3,x∈[-1,t](t>-1),函数g(t)=
(t-2)
2
,t>-1。
(Ⅰ)当0<t<1时,求函数f(x)的单调区间和最大、最小值;
(Ⅱ)求证:对于任意的t>-1,总存在x
0
∈(-1,t),使得x=x
0
是关于x的方程f′(x)=g(t)的解;并就k的取值情况讨论这样的x
0
的个数。
题型:江西省模拟题
难度:
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函数f(x)=x
3
+bx
2
+cx+d在区间[1,2]上是减函数,则b+c的最大值为( )。
题型:0117 模拟题
难度:
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已知可导函数f(x)的导函数f′(x)的部分图象如图所示,则函数f(x+1)的部分图象可能是
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A、
B、
C、
D、
题型:0119 模拟题
难度:
|
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设函数f(x)=(1+x)
2
-2ln(1+x)。
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当0<a<2时,求函数g(x)=f(x)-x
2
-ax-1在区间[0,3]上的最小值.
题型:0119 模拟题
难度:
|
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