已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值。(1)求函数f(x)的解析式;(2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|
题型:0112 模拟题难度:来源:
已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值。 (1)求函数f(x)的解析式; (2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4; (3)若过点A(1,m)(m ≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的范围。 |
答案
解:(1)=3ax2+2bx-3, 依题意,f′(1)=f′(-1)=0, 即解得a=1,b=0, ∴f(x)=x3-3x。 (2)∵f(x)=x3-3x, ∴f ′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 当-1<x<1时,f ′(x)<0,故f(x)在区间[-1,1]上为减函数, fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2, ∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)|, ∴ |f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4。 (3)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), ∵曲线方程为y=x3-3x, ∴点A(1,m)不在曲线上, 设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足, 因,故切线的斜率为, 整理得, ∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线, 设,则, 由,得x0=0或x0=1, ∴g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减, ∴函数的极值点为x0=0,x0=1, ∴关于x0方程有三个实根的充要条件是,解得-3<m<-2, 故所求的实数a的取值范围是-3<m<-2。 |
举一反三
已知函数f(x)=x3-x2+3,x∈[-1,t](t>-1),函数g(t)=(t-2)2,t>-1。 (Ⅰ)当0<t<1时,求函数f(x)的单调区间和最大、最小值; (Ⅱ)求证:对于任意的t>-1,总存在x0∈(-1,t),使得x=x0是关于x的方程f′(x)=g(t)的解;并就k的取值情况讨论这样的x0的个数。 |
函数f(x)=x3+bx2+cx+d在区间[1,2]上是减函数,则b+c的最大值为( )。 |
设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x)。 (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)当0<a<2时,求函数g(x)=f(x)-x2-ax-1在区间[0,3]上的最小值. |
函数f(x)=ex+e-x(e为自然对数的底数)在(0,+∞)上 |
[ ] |
A.有极大值 B.有极小值 C.是增函数 D.是减函数 |
最新试题
热门考点