设an是关于x的方程xn+nx-1=0(n∈N*,x∈(0,+∞))的根.试证明:(1)an∈(0,1);(2)an+1<an;(3)a12+a22+…+an2

设an是关于x的方程xn+nx-1=0(n∈N*,x∈(0,+∞))的根.试证明:(1)an∈(0,1);(2)an+1<an;(3)a12+a22+…+an2

题型:解答题难度:一般来源:不详
设an是关于x的方程xn+nx-1=0(n∈N*,x∈(0,+∞))的根.试证明:
(1)an∈(0,1);
(2)an+1<an
(3)a12+a22+…+an2<1.
答案
证明:(1)设f(x)=xn+nx-1,
∵f(0)=-1<0,f(1)=n>0,
且函数f(x)的图象在(0,+∞)上是连续的,
∴f(x)在(0,1)上至少有一个零点,
即方程xn+nx-1=0在(0,1)内至少有一个根.(3分)
∵x∈(0,+∞),
∴f′(x)=nxn-1+n>0,
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
∴方程xn+nx-1=0在(0,+∞)内有唯一根,
且根在(0,1)内,即an∈(0,1).(5分)
(2)方法一:∵f(
1
n
)=(
1
n
)n>0,f(
1
n+1
)=(
1
n+1
)n+
n
n+1
-1=(
1
n+1
)n-
1
n+1
≤0

且函数f(x)的图象在(0,+∞)上是连续的,
∴f(x)在[
1
n+1
1
n
)
内至少有一个零点,
即方程xn+nx-1=0在[
1
n+1
1
n
)
内至少有一个根.
又由(1)知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴方程xn+nx-1=0在[
1
n+1
1
n
)
内有唯一根,
1
n+1
an
1
n
.(8分)
1
n+2
an+1
1
n+1

∴an+1<an.          (9分)
方法二:由(1)知,ann+nan-1=0,
an+1n+1+(n+1)an+1-1=0,
两式相减得:an+1n+1+(n+1)an+1-ann-nan=0,(7分)
若存在n∈N*,使得an+1≥an
则an+1≥an>ann
从而an+1n+1+(n+1)an+1-ann-nan>(n+1)an+1-ann-nan=an+1-ann+nan+1-nan>0,矛盾.
所以an+1<an.(9分)
(3)由题设得a1=
1
2
a12=
1
4
<1

当n∈N*时,an=
1-ann
n
1
n

a12+a22<(
1
2
)2+(
1
2
)2=
1
2
<1
.         (12分)
当n≥3时有a12+a22+a32+…+an2<(
1
2
)2+(
1
2
)2+(
1
3
)2+…
+(
1
n
)2

1
4
+
1
4
+
1
2•3
+
1
3•4
+
+
1
(n-1)n

=
1
4
+
1
4
+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…
+(
1
n-1
-
1
n
)

=1-
1
n
<1

综上a12+a22+…+an2<1.               (14分)
举一反三
函数f(x)=x+lnx的零点所在的区间为(  )
A.(-1,0)B.(
1
e
,1)
C.(1,2)D.(1,e)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=ln(x+1)-
2
x
的零点所在区间是(  )
A.(
1
2
,1)
B.(1,e-1)C.(e-1,2)D.(2,e)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=
x3
3
-(a+1)x2+4ax+b,其中a、b∈R

(Ⅰ)若函数f(x)在x=3处取得极小值是
1
2
,求a、b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅲ)若函数f(x)在(-1,1)上有且只有一个极值点,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续的,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实根0,则f(-1)•f(1)的值(  )
A.大于0B.小于0C.等于0D.无法确定
题型:单选题难度:一般| 查看答案
若关于x的方程x3-3x+m=0在[0,2]上有根,则m的取值范围(  )
A.m≤-2B.-2≤m≤0C.m≤2D.-2≤m≤2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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