已知函数f(x)=xlnx。(1)求这个函数的图象在点x=1处的切线方程;(2)讨论这个函数的单调区间.
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已知函数f(x)=xlnx。 (1)求这个函数的图象在点x=1处的切线方程; (2)讨论这个函数的单调区间. |
答案
解: , (1)当x=1时, , , 所以,切线过点(1,0),斜率为1, 故切线的方程为y=x-1。 (2)令 ,即lnx+1>0,解得 ; 所以,函数f(x)=xlnx的单调递增区间为 ; 令 ,即lnx+1<0,解得 ; 所以,函数f(x)=xlnx的单调递减区间为 。 |
举一反三
设函数f(x)= x2-1+cosx(a>0)。 (1)当a=1时,证明; 函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求正数a的范围; (3)在(1)的条件下,设数列{an}满足:0<an<1,且an+1=f(an),求证:0<an+1<an<1。 |
已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值。 (1)求函数f(x)的解析式; (2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4; (3)若过点A(1,m)(m ≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的范围。 |
已知函数f(x)= x3-x2+3,x∈[-1,t](t>-1),函数g(t)= (t-2)2,t>-1。 (Ⅰ)当0<t<1时,求函数f(x)的单调区间和最大、最小值; (Ⅱ)求证:对于任意的t>-1,总存在x0∈(-1,t),使得x=x0是关于x的方程f′(x)=g(t)的解;并就k的取值情况讨论这样的x0的个数。 |
函数f(x)=x3+bx2+cx+d在区间[1,2]上是减函数,则b+c的最大值为( )。 |
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