已知函数的图象过点(-1,-6),且函数 的图象关于y轴对称.(1)求、的值及函数的单调区间;(2)若函数在(-1,1)上单调递减,求实数的取值范围。
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已知函数的图象过点(-1,-6),且函数 的图象关于y轴对称. (1)求、的值及函数的单调区间; (2)若函数在(-1,1)上单调递减,求实数的取值范围。 |
答案
解:(1)由函数f(x)图象过点(-1,-6),得m-n="-3," 由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n, 则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n; 而g(x)图象关于y轴对称,所以-=0,所以m=-3,代入①得n=0. 于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 由f′(x)>0得x>2或x<0, 故f(x)的单调递增区间是(-∞,0),(2,+∞); 由f′(x)<0得0<x<2, 故f(x)的单调递减区间是(0,2). (2)解: 由在(-1,1)上恒成立,得a≥3x2-6x对x∈(-1,1)恒成立. ∵-1<x<1,∴3x2 -6x<9,∴只需a≥9.∴a≥9. |
解析
本试题主要考查了导数在函数研究中的应用。利用导数能求解函数的单调性和奇偶性问题,以及能根据函数单调区间,逆向求解参数的取值范围的求解问题。要利用导数恒小于等于零来解得 。 |
举一反三
已知函数 (1)求的极大值和极小值,并画出函数的草图 (2)根据函数图象讨论方程的根的个数问题: ①有且仅有两个不同的实根,求的取值范围 ②有且仅有一个实根,求的取值范围 ③无实根,求的取值范围 |
某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格下跌.现有三种价格模拟函数:①;②;③.(以上三式中均为常数,且) (1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数,为什么? (2)若,,求出所选函数的解析式(注:函数的定义域是).其中表示4月1日,表示5月1日,…,依此类推; (3)为保护果农的收益,打算在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该果品在哪几个月内价格下跌. |
已知函数. (Ⅰ)求函数的单调区间; (Ⅱ)若,求在区间上的最大值; (III)设函数,(),试讨论函数与图象交点的个数 |
方程的实根个数是 ( ) |
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