(Ⅰ)∵,其定义域为. 1分 ∴. (2分) ∵,∴当时,;当时,. 故函数的单调递增区间是;单调递减区间是. (4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,函数的单调递增区间是;单调递减区间是. 当时,在区间上单调递增,的最大值; 当时,在区间上单调递增,在上单调递减,则在处取得极大值,也即该函数在上的最大值,此时的最大值; ∴在区间上的最大值…………………(8分) (Ⅲ)讨论函数与图象交点的个数,即讨论方程在上根的个数. 该方程为,即. 只需讨论方程在上根的个数, ……………………(9分) 令,. 因,,令,得, 当时,;当时,. ∴, 当时,; 当时,, 但此时,且以轴为渐近线. 如图构造的图象,并作出函数的图象. ①当即时,方程无根,没有公共点; ②当即时,方程只有一个根,有一个公共点; ③当即时,方程有两个根,有两个公共点.
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