解:(1)∵(x)=3ax2+sinθx-2 由题设可知:即∴sinθ=1。(2分) 从而a=,∴f(x)=,而又由f(1)=得,c= ∴f(x)=即为所求。 (4分) (2)(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1)易知f(x)在(-∞,-2)及(1,+∞)上均为增函数,在(-2,1)上为减函数。 (i)当m>1时,f(x)在[m,m+3]上递增。故f(x)max=f(m+3),f(x)min=f(m) 由f(m+3)-f(m)=(m+3)3+(m+3)2-2(m+3)-=3m2+12m+得-5≤m≤1。这与条件矛盾故舍。 (6分) (ii)当0≤m≤1时,f(x)在[m,1]上递减,在[1,m+3]上递增。 ∴f(x)min=f(1),f(x)max={f(m),f(m+3)}max 又f(m+3)-f(m)=3m2+12m+=3(m+2)2->0(0≤m≤1),∴f(x)max=f(m+3) ∴|f(x1)-f(x2)| ≤f(x)max-f(x)min="f(m+3)-f(1)" ≤f(4)-f(1)=恒成立 故当0≤m≤1原式恒成立。 (8分) 综上:存在m且m∈[0,1]合乎题意。 (9分) (3)∵a1∈(0,1,∴a2∈,故a2>2 假设n=k(k≥2,k∈N*)时,ak>2。则ak+1=f(ak)>f(2)=8>2 故对于一切n(n≥2,n∈N*)均有an>2成立。 (11分) 令g(x)= 得= 当x∈(0,2)时(x)<0,x∈(2,+∞)时,(x)>0, ∴g(x)在x∈[2,+∞时为增函数。 而g(2)=8-8ln2>0,即当x∈[2,+∞时,g(x)≥g(2)>0恒成立。 ∴g(an)>0,(n≥2)也恒成立。即:an+1>8lnan(n≥2)恒成立。 而当n=1时,a2=8,而8lna1≤0,∴a2>8lna1显然成立。 综上:对一切n∈N*均有an+1>8lnan成立。 |