(本小题满分12分)设函数f (x)=ln(x+a)+x2.(Ⅰ)若当x=1时,f (x)取得极值,求a的值,并讨论f (x)的单调性;(Ⅱ)若f (x)存在极
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(本小题满分12分)设函数f (x)=ln(x+a)+x2.(Ⅰ)若当x=1时,f (x)取得极值,求a的值,并讨论f (x)的单调性;(Ⅱ)若f (x)存在极
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分12分)
设函数
f
(
x
)=ln(
x
+
a
)+
x
2
.
(Ⅰ)若当
x
=1时,
f
(
x
)取得极值,求
a
的值,并讨论
f
(
x
)的单调性;
(Ⅱ)若
f
(
x
)存在极值,求
a
的取值范围,并证明所有极值之和大于ln.
答案
(Ⅰ)
;
分别在区间
单调递增,在区间
单调递减.
(Ⅱ)
,证明见解析
解析
(Ⅰ)
,依题意有
,故
.
从而
.
的定义域为
,
当
时,
;当
时,
;
当
时,
.
分别在区间
单调递增,在区间
单调递减.
(Ⅱ)
的定义域为
,
.
方程
的判别式
.
(ⅰ)若
,即
,在
的定义域内
,故
无极值.
(ⅱ)若
,则
或
.
若
,
,
.
当
时,
,
当
时,
,所以
无极值.
若
,
,
,
也无极值.
(ⅲ)若
,即
或
,则
有两个不同的实根
,
.
当
时,
,从而
有
的定义域内没有零点,故
无极值.
当
时,
,
,
在
的定义域内有两个不同的零点,由根值判别方法知
在
取得极值.
综上,
存在极值时,
的取值范围为
.
的极值之和为
.
举一反三
已知函数
,则函数
在区间
上的值域是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,其导函数图象如图1所示,
则函数
的极小值是 ( * )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分14分)
已知函数
,
为实数)有极值,且在
处的切线与直线
平行.
(1)求实数
a
的取值范围;
(2)是否存在实数
a
,使得函数
的极小值为1,若存在,求出实数
a
的值;若不存在,请说明理由;
题型:不详
难度:
|
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函数
在区间[0,3]上的最大值与最小值分别是( )
A.5,– 15
B.5,– 4
C.– 4,– 15
D.5,– 16
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.
(1) 若
在
x
= 0处取得极值为 – 2,求
a
、
b
的值;
(2) 若
在
上是增函数,求实数
a
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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