已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-2)x.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x=1垂直,求实数a的值;(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性
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已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-2)x. (Ⅰ)若曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x=1垂直,求实数a的值; (Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性. |
答案
(Ⅰ)f′(x)=-2ax+a-2=, ∵曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x=1垂直, ∴f"(1)=-(a+1)=0, 解得:a=-1; (Ⅱ)由题意可得,f(x)定义域为(0,+∞) (I)对函数求导可得,f′(x)=-2ax+a-2=, ①a≥0时,ax+1>0,x>0 由f′(x)>0可得,x∈(0,),由f′(x)<0可得x∈(,+∞), ∴f(x)在(0,)单调递增,在(,+∞)单调递减, ②a<0时,令f′(x)=0可得x1=或x2=, (i)当-2<a<0时->, 由f′(x)<0可得x∈(,-),由f′(x)>0可得x∈(0,), 故f(x)在(,-)单调递减,在(0,),(-,+∞)上单调递增, (ii)当a<-2时,同理可得f(x)在(-,)单调递减,在(0,-),(,+∞)单调递增, (iii)当a=-2时,f′(x)=≥0, ∴f(x)在(0,+∞)单调递增. |
举一反三
已知函数f(x)=(x-1)2+lnx-ax+a. (Ⅰ)若a=,求函数f(x)的极值; (Ⅱ)若对任意的x∈(1,3),都有f(x)>0成立,求a的取值范围. |
曲线f(x)=x3在x=2处切线方程的斜率是( ) |
已知函数f(x)=x3+x-16.求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程. |
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处的切线方程为y=3x+1, (1)若函数y=f(x)在x=-2时有极值,求f(x)的表达式; (2)在(1)条件下,若函数y=f(x)在[-2,m]上的值域为[,13],求m的取值范围; (3)若函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增,求b的取值范围. |
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