如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，PD=PA，E、F分别是AB、PD的中点。 (1)求证：AF∥平面PCE； (2)求证：平面PCE⊥平面PCD。

题型：不详难度：来源：

如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，PD=PA，E、F分别是AB、PD的中点。

(1)求证：AF∥平面PCE；
(2)求证：平面PCE⊥平面PCD。

答案

见解析

解析

(1)取PC中点G，连接FG、EG。
因为F、G分别为PD、PC的中点，
所以FG∥CD且FG=CD，
又AE∥CD且AE=CD，
所以，FG∥AE且FG=AE，
四边形AEGF为平行四边形，
因此，AF∥EG，又AF⊄平面PCE，所以AF∥平面PCE。
(2) 由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD，
又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，CD⊥AF。
又PA⊥AD，F为PD的中点，则AF⊥PD，
因此，AF⊥平面PCD。
而AF∥EG，故EG⊥平面PCD，
又EG⊂平面PCE，所以，平面PCE⊥平面PCD。