已知函数f(x)=(ax2+bx+c)e2-x在x=1处取得极值,且在点(2,f(2))处的切线方程为6x+y-27=0.(1)求a,b,c的值;(2)求函数f

已知函数f(x)=(ax2+bx+c)e2-x在x=1处取得极值,且在点(2,f(2))处的切线方程为6x+y-27=0.(1)求a,b,c的值;(2)求函数f

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已知函数f(x)=(ax2+bx+c)e2-x在x=1处取得极值,且在点(2,f(2))处的切线方程为6x+y-27=0.
(1)求a,b,c的值;
(2)求函数f(x)的单调区间,并指出f(x)在x=1处的极值是极大值还是极小值.
答案
(1)f′(x)=(2ax+b)e2-x+(ax2+bx+c)e2-x(-1)=[-ax2+(2a-b)x+(b-c)]e2-x,…(4分)
由题意,





f′(1)=0
f′(2)=-6
f(2)=15
,即





[-a+(2a-b)+(b-c)]e1=0
[-4a+2(2a-b)+(b-c)]e0=-6
(4a+2b+c)e0=15

∴a=c=1,b=5;…(8分)
(2)由(1)知,f(x)=(x2+5x+1)e2-x,∴f′(x)=(-x2-3x+4)e2-x=-(x+4)(x-1)e2-x,…(10分)
令f′(x)>0,得-4<x<1,f′(x)<0,得x<-4或x>1,
∴函数f(x)的单调递增区间为(-4,1),单调递减区间为(-∞,-4)和(1,+∞).…(13分)
由此可知,f(x)在x=1处的取值是极大值.…(14分)
举一反三
函数f(x)的导函数y=f"(x)的图象如图所示,其中-3,2,4是f"(x)=0的根,现给出下列命题:
(1)f(4)是f(x)的极小值;
(2)f(2)是f(x)极大值;
(3)f(-2)是f(x)极大值;
(4)f(3)是f(x)极小值;
(5)f(-3)是f(x)极大值.
其中正确的命题是(  )
A.(1)(2)(3)(4)(5)B.(1)(2)(5)C.(1)(2)D.(3)(4)

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已知函数f(x)=x3-2x2-4x-7,其导函数为f′(x).
①f(x)的单调减区间是(
2
3
,2)

②f(x)的极小值是-15;
③当a>2时,对任意的x>2且x≠a,恒有f(x)>f(a)+f′(a)(x-a)
④函数f(x)满足f(
2
3
-x)+f(
2
3
+x)=0

其中假命题的个数为(  )
A.0个B.1个C.2个D.3个
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已知f(x)在x=x0处的导数为4,则
lim
△x→0
f(x0+2△x)-f(x0)
△x
=(  )
A.4B.8C.2D.-4
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函数y=2x2-3x上点(1,-1)处的切线方程为(  )
A.x-y+2=0B.x-y-2=0C.x-2y-3=0D.2x-y-3=0
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若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值为-
4
3

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)=k有3个解,求实数k的取值范围.
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